dB, decibel, 데시벨

요약
1. dB는 비율이다. 
2. 좀 더 정확히 말하자면, dB는 비율의 로그 값이다. 
3. 비율로 어떤 값을 표현하기 위해선 기준이 필요하다.
  주유소에 가서 '2배 넣어주세요.'라고 할 수는 없지 않은가?
  '10리터의 2배 넣어주세요', '만 원 치의 반만 넣어주세요' 등은 가능하다.
  물론 실제로 그렇게 이야기하진 않겠지만...
4. dBSPL은 '귀에 들리는 최소한의 음압'을 기준으로 한다. 
5. '음의 세기'는 음압의 '제곱'에 비례한다. 
6. 그러므로 '음압'이 '2배'가 되면 '음의 세기'는 6dB가 올라간다. 
7. '음의 세기', '전력(W)'이 2배가 되면 '음의 세기', '전력'은 3dB가 올라간다. 

로그, 상용 로그

고등학교 수학에서 로그를 배운 기억을 되살려 보자. 

'log₁₀100 = 2'

'a^c = b'일 때
'log_ab = c'이다.

이때 'a'를 밑이라 하는데,
10을 밑으로 하는 로그를 '상용로그'라고 하고, 밑을 생략하기도 한다.

우리는 10진법을 사용하기 때문에 상용로그를 이용할 일이 많다.

 

지수 법칙과 로그

로그는 곱을 합으로 바꿔준다.

(뭔가 싼 티 나는 표현이다.)

이것은 아주 간단하게 지수법칙으로 확인할 수 있다.

log_axy = log_ax + log_ay 인데

log_ax = m, log_ay = n 이라 하면

a^m = x, aⁿ = y 이므로

xy = a^m * aⁿ

xy = a^m+n

log_aa = 1 이므로..

log_axy = (m+n)log_aa = m + n = log_ax + log_ay

어렵지 않다.

log₁₀100 = log₁₀10 + log₁₀10 = 1 + 1 = 2

log₁₀200 = log₁₀100 + log₁₀2 = 2 + log₁₀2

log₁₀2는 약 0.301029 이기 때문에 0.3으로 기억해 두면 된다.

기억해 두면 좋다. 2배 = 약 3dB

 

dB, decibel

A라는 값과 B라는 값이 있다.

이 값의 차이를 우리는 비율로 나타낼 수 있다.

'A : B = 1 : 2'라고 하자.

비율은 분수 형태로 나타낼 수 있다.

우리는 'A는 B의 1/2(=A/B) 배' 또는 'B는 A의 2배'라고 할 것이다.

이렇게 작은 차이는 쉽게 표현할 수 있지만,
100000000배의 차이는 표현하기 힘들다.

이럴 때 '1/100000000'이나 '100000000'보다는
'log₁₀(1/100000000) = log₁₀10^-8 = -8'이나
'log₁₀100000000 = log₁₀10⁸ = 8'로 표현하면 쉽다.

벨(B)은 이렇게 측정값의 비에 상용로그를 취한 것이다.

P0을 기준값, P를 측정값이라 할 때

L_B/B = log₁₀(P/P0)
L_B = log₁₀(P/P0)B

즉 벨(B)은 '비율'을 나타내는 것이다~!!!

(차이가 많이 나는) 두 값의 '비율'을 보기 좋게 상용로그로 정리한 것~!

그래서 '무차원의 단위'라고 한다.
비율이란 분수와 같다.
1미터(m)/3미터(m) = 1/3 만 남는다. (단위가 사라진다.)
a는 b의 몇 배이다라는 표현은 써도 몇 배 미터라고는 하지 않는다.

이제 데시(deci)를 알아보자.
데시는 10^-1을 의미한다.

위에 log₁₀2는 약 0.301029,
즉 측정값이 기준값의 2배가 되는 경우 벨 값은 약 0.3이 된다.

뭔가 불편하다. 10을 곱해주면 깔끔하지 않나?

양변을 데시(10^-1)로 '나눈' 값을 데시벨이라고 한다.
단위가 데시로 바뀌면서 숫자 값에 10이 곱해졌다. 
1리터는 10데시리터임을 떠올리면 쉽다. 

L_dB = 10log₁₀(P/P0)dB

측정값이 기준값의 2배가 되면 약 +3dB라고 표현할 수 있는 것이다.
4(=2²)배는 6dB, 8(=2³)배는 9dB~!

+1dB는 10^1/10 = 약 1.259배이다.

그런데 여기서 끝나는 게 아니다 ㅠ,.ㅠ

여담이지만 왜 하필 벨이라는 단어를 쓴 걸까?
그 이유는 이 단위를 벨 연구소에서 제안했기 때문이다. 
전화선이 길어지면 신호의 손실이 발생하는데
이를 표현하기 위해서 만든 단위라고 한다. 
그전에 사용하던 단위는 너무 복잡했다고...

 

전압(볼트)과 전력(와트) 그리고 dB

전압(볼트)과 전력(와트)을 dB로 표현할 수도 있다.

먼저 전압과 전력의 관계를 기억해야 한다.

옴의 법칙에 의해 전류(I) = 전압(V) / 저항(R)

전력(P) = V(전압) * I(전류) = V(전압)² / 저항(R)

전력은 전압의 제곱에 비례하게 된다.

이런 이유로 10배의 전압비는 100배의 전력비가 되고,
B로 나타내면 2B, dB로 나타내면 20dB가 된다.

ex)

같은 저항, 같은 전류에 전압만 3볼트 -> 30볼트

3와트 = (3볼트)² / 3옴
300와트 = (30볼트)² / 3옴

전압만 비교하면 10log(30/3) = 10dB
위 전압들을 걸었을 때 전력들을 비교하면 10log(300/30) = 20dB

 

음압과 dB

dB의 본질은 비율일 뿐이다.

비율과 음압의 관계는 무엇일까?

음압을 비율로 표현하려면 어떻게 해야 할까?

기준 음압을 정하고 여기서 몇 배라고 표현하면 된다.

단 여기서 약간의 함정이 있는데
결국 우리가 알고자 하는 것은 음의 세기(≒음량)이고
이걸 음압을 이용해서 (로그로) 표현한다는 점이다. 

음압에서 사용하는 dB를 dB_SPL라고 한다.
SPL = sound pressure level

보통 사람이 들을 수 있은 가장 작은 소리의 음압(1kHz에서의 최소 가청치)을 기준으로 한다.

0.0002dyn/cm² = 20μPa

dyn(다인) = 10⁻⁵N(뉴턴) 즉 힘의 단위.

 

 

음압레벨(SPL)과 실효값

사실 실효값은 dBSPL을 계산할 때 꼭 필요한 개념은 아니다.

Sound pressure level (SPL) or acoustic pressure level is a logarithmic measure of the effective pressure of a sound relative to a reference value.

'음압 레벨'은 '기준 값'에 대한 '실효 압력' 측정치의 로그값이다.

즉 위의 dBSPL은 '실효값'을 쓴다는 말이다.

실효값은 RMS(제곱평균제곱근, root-mean-square)를 의미한다.

실효값은 전압의 예로 이해하는 게 쉽다. 

 

출처: 위키백과

평균값

음압, 교류 전압 등의 그래프를 보면
위 그림과 같이 극성이 변화하고 주기적으로 반복되므로
평균값을 측정하면 0이 된다.

그래서 x축 위 즉 절반의 면적을 주기의 절반으로 나눈 것을 평균값이라 한다. 

실효값

직류의 경우 전력은 P = VI 이다. I = V/R이므로 P = V² / R. 즉 전력은 '전압의 제곱'과 비례한다. 
'전압의 제곱'을 적분해서 전압의 제곱(square)의 면적을 계산한 뒤, 이를 주기로 나누고(평균: mean), 루트(root)를 씌운 것(RMS)을 실효값이라고 한다. (통계에서의 표준편차와 같다.)
실효값은 전기 소비량(전력)을 기준으로 생각하면 쉽다.
어떤 저항에 10볼트 직류를 물리니 전력 10와트를 쓰더라,
만약 같은 저항에 교류를 물렸을 때 10와트를 쓴다면 그 교류의 실효 전압은 10볼트다.
실제 우리가 쓰는 교류 전기의 전압은 실효값으로 표현되며, 
우리가 쓰는 교류 220V는 220V의 직류를 해당 저항에 물렸을 때의 전기 소비량과 같다는 의미다.
교류 220V의 최댓(peak)값은 약 311.127V 이다.
V(RMS, 실효값) = V(P, 최댓값) / √2

 

음압과 음량

음의 세기(강도, Sound Intensity)란

단위 시간, 단위 시간 당 전달되는 음향 에너지
J/m²s, W/m²

음의 세기(소리의 강도[W/㎡])는 매질 입자 속도 및 압력으로 표현할 수 있다. 
그러나 매질 입자 속도(v)의 측정이 어려워, 음압만을 측정하고,
관례적으로 음의 세기를 측정 음압과 기준 음압과의 차이로 표현한다. 

 

I(음의 세기) = p(음압)² / z(음향 임피던스)

공식이 전력과 같다. 전력 = 전압² / 저항

이를 이용해 다음 공식을 얻을 수 있다.

출처: 위키백과

음의 세기는 음압의 제곱에 비례하기 때문에 '2'를 곱하고.
벨 -> 데시벨이 되면서 '10'을 곱한다고
그래서 로그값에 20을 곱한다고 생각하면 쉬우려나?

 

볼륨(Sound Volume)과 라우드니스(Sound Loudness)

(에너지의 순간 전달율인 소리의 세기가 여러 물리량에 의존하지만, 이를 압력으로만 표현한 것)

Sound Volume : 물리음향적 크기 : 음압 레벨 (압력에 의한 소리의 크기) [dB SPL]
보통 음량(볼륨)이라고 하면 dB SPL을 의미하는 것 같다. 

Sound Loudness : 심리음향적 크기 : 라우드니스 (인지적(청각을 고려한 주관적) 소리의 크기) [phon,sone]

출처: http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=3748

 

PS) 인터넷에는 음압과 음(소리)의 세기를 구분하지 않거나 모호하게 쓰는 경우가 많다. 

'소리의 세기는 음파의 진폭을 의미하고(??)'
https://if-blog.tistory.com/5413

'소리의 세기는 그 파동이 얼마나 큰 압력을 갖고 있느냐로 계산되며, 음압이라고 표현(??)되고 단위는 '데시벨'(dB)을 사용한다.'
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%86%8C%EB%A6%AC

 

60dB_SPL의 의미

일반인이 음의 세기에 관련해서 dB이라고 하면
dB_SPL을 의미하는 경우가 많다.

 

뉴스에서도 잘못된 단위를 쓰는 지경이니...
개가 짖는 소리는 약 90~100데시벨(dB)로, 진공청소기 소음(70dB)보다 더 큰 것으로 알려져있다.
현행법규상 일반 주거지역에서 주간 55dB, 야간 45dB을 넘으면 소음에 해당한다.
https://news.naver.com/main/read.nhn?mode=LSD&mid=sec&sid1=102&oid=366&aid=0000628309

 

20log₁₀(측정치 / 사람이 들을 수 있는 가장 작은 소리의 음압) = 60 이란 말이고..

양변을 20으로 나누면...
log₁₀(측정치 / 사람이 들을 수 있는 가장 작은 소리의 음압) = 3

로그의 정의...
10³ = 측정치 / 사람이 들을 수 있는 가장 작은 소리의 음압

가장 작은 소리에서 1000배로 큰 음압으로 만들어진(?) 음의 세기(인텐시티, 볼륨, 음량)이라는 뜻이 된다.

다시 말하자면 음압이 1000배 증가하면 음의 세기는 1_000_000배 즉 60dB가 증가한다. 

10배는 20dB, 100배는 40dB, 1000배는 60dB....

dBSPL에서는 약 6dB (또는 6.02dB) = 2배를 의미한다.

12dB는 2의 2승 = 4배, 18dB는 2의 3승 = 8배, 24dB는 16배.

 

청각과 로그

이제 왜 로그로 음량을 표현하는 지 어렴풋이 알 수 있을 것이다.

우리 청각은 로그값과 비슷하게 음량을 인식한다.. 

비슷하다고 했지.. 같다고는 하지 않았다...
화이트 노이즈와 핑크 노이즈를 비교하면... ...

인간이 들을 수 있는 가장 작은 소리가 0dBSPL
남자라면 한번쯤은 듣게 되는 K2 총소리가 150dBSPL 정도..

저기서 0이라는 숫자는 무음실 환경에서나 가능한 숫자고
현실에서는 20~30dBSPL이 가장 조용한 수치
클럽 스피커 바로 앞 쯤 되면 120dBSPL 정도.
100~150 정도의 숫자로 현실을 표현할 수 있으니 궁합이 좋다.   

 

기준값에 따른 다양한 dB

dBV는 1V가 기준값

dBW는 1W가 기준값

dBm은 1mW가 기준값

dBu는 0.775V가 기준값, 원래는 dBv를 사용했으나 dBV와 혼돈 때문에...

이유는 음향기기의 임피던스는 600옴이 많았고(?, 옛 표준이랄까?) 
1밀리와트 = 10^(-3)와트 = (x)²볼트 / 600옴
을 계산하면 x = 0.7746....
그래서 dBu는 0.775V

참고: https://wiki.homerecz.com/doku.php?id=%EC%9D%8C%ED%96%A5:%EB%A0%88%EB%B2%A8:600ohm
(마이크도 600옴, 헤드폰도 600옴(?), 전화기의 트랜스도 600옴, 요즘은 600옴을 지키지 않는 장비도 많지만...)

 

표준 운영 레벨(standard operation level)

이제 표준 운영 레벨(standard operation level)을 이해할 수 있다. 

보통 컨슈머용 기기들은 '-10dBV', 프로용 기기들은 '+4dBu'로 알고 있는 그것...

실제 전압을 계산해 보자. 

4dBu는 4 = 20log(x/0.775)에서 x를 계산하면 되는데.. 
계산해 보면 0.7746*(10^(0.2)) = 1.2276582668803786 (V)

-10dBV는 -10 = 20log(x)
10^(-1/2) = 0.31622776601683794 (V)

프로용 기기들의 표준 운영 레벨(전압)이 4(3.882...)배 정도 더 높다는 것을 알 수 있다. 

이 전압차를 전력(≒ 음의 세기)으로 변환한 뒤 dB로 표현하자면
20 * log(0.316/1.228) = -11.790225683734901

보통 일반인이 음량이 반으로 줄었다고 생각하는 -10dB 이상의 값을 보여준다. 

 

디지털에서 dB

디지털 오디오에서 16bit, 44.1kHz 라는 표현을 못 본 사람은 없을 것이다.

16bit가 음량에 관계된 숫자라는 것은 다들 아시리라 생각된다.

정확히는 음압에 관련되어 있다. 
우리가 발성을 하면서 생긴 공기의 음압이
마이크의 떨림판을 밀면 그것이 전압으로 기록된다. 

1bit는 0, 1이 두가지를 표현할 수 있는 단위이다.
2bit는 00, 01, 10, 11 이렇게 4가지 표현이 가능. 
3bit는 000, 001, ..... 2의 3승...
16bit는 2의 16승의 표현이 가능한 단위이다. 

즉 16bit는 2⁰(=1) ~ 2¹⁶까지 표현이 가능하다. 

음압을 음의 세기로 바꿔 줄 때는,
음압의 제곱이 음의 세기와 비례한다는 점을 떠올리자. (* 2)
거기에 벨과 데시빌의 관계도 떠올리자. (* 10)
그래서 20을 곱한다. 

16bit = 20log(2¹⁶) = 96.3295dB

당연한 이야기지만 1bit당 약 6.02dB를 가진다.
전압이 2배가 되면 전력은 +6.02dB가 되는 것과 같다.  

24bit는 직접 계산을 해보시길...... 

 

dBFS

dB는 비율일 뿐이라고 했다.
그러면 디지털 오디오에서는 뭐의 몇 배라고 표현할까?
디지털 오디오에서 기준점은 뭘로 잡을까?

dBfs의 fs는 Full Scale이다. 
디지털(ADC)에서는 모든 비트가 1이 되면 최고점이 되고
그 이상을 담을 수 없기 때문에 여기를 기준으로 한다. 
최고점은 0dBfs

그곳에서 0000.... 까지 내려간다. 
즉 음의 값을 가지게 된다. 

그리고 이는 '상대값'이다.
'최고점 = 허용 전압'이 기기들 마다 달라 특정 기준 값을 정할 수가 없다.
일반적으론 22dBu를 최고점을 하는 경우가 많다고는 하지만... 

디지털 오디오에서 허용 전압 이상은 피크 노이즈가 되고
현실적인 아래의 끝은 그 기기의 노이즈 플로어다. 

만약에 기준점을 아래로 잡았다면 어떻게 될까? 
16비트 기기와 24비트 기기에선 어떻게 했어야할까?
기기끼리 다른 건 그렇다 쳐도
한 기기가 16비트와 24비트를 동시에 지원하는 경우는 어떻게?
노이즈 플로어는?
이 모든 걸 생각해 보면 최고점을 0으로 잡는 게 합리적인 것 같다.  

유투브의 이 강의도 같이 보면 좋을 것 같다.  

https://www.youtube.com/watch?v=Hxz8UFqYnno